Die „Goldenen Zahlen“ φ und Φ

Im vorherigen Abschnitt haben wir herausgefunden, dass die Länge bzw. Zahl des Majors bei einer Strecke mit der Länge 1 der Zahl 0,618...entspricht. Wir nennen sie hier φ (sprich klein phi).

Da der Goldene Schnitt eine direkte Proportion darstellt, können wir allgemein sagen, dass bei einer beliebig vorgegebenen Streckenlänge die Länge des Majors rund 61,8 % Prozent davon beträgt, die des Minors rund 38,2 %. Bei 10 m wären dies 6,18 m für dem Major und 3,82 m für den Minor. Bei 21 m bekämen wir für den Major 21 mal 0,618 also rund 12,98 m.

Besonderheiten der Zahlen φ und Φ

Eine von mehreren Besonderheiten oder Merkwürdigkeiten der Zahl φ ist nun, dass ihr reziproker Wert, also 1 : φ = 1 + φ = 1, 618... entspricht.

Geometrisch veranschaulicht heißt dies, addieren wir zu der ursprünglichen Strecke AB = 1 den Major = 0,618... hinzu, erhalten wir eine Strecke AD = 1 + 0,618... = 1,618... , die wiederum in einem Goldenen Schnitt Verhältnis zur ursprünglichen Strecke AB = 1 steht.

Eine Animation zu dieser Besonderheit soll dies verdeutlichen.

Wir sehen also, die ursprüngliche Strecke AB = 1 wird zum Major, während der ursprüngliche Major zum Minor der neuen Strecke AD = 1 + 0,618.. wird.

Die Zahl Φ = 1 + φ = 1,618.... nennen wir hier Phi (sprich groß Phi)

Die Zahlen Phi und phi sind, wie schon erwähnt, irrationale Zahlen, d.h. sie können durch keine Brüche mit ganzen Zahlen dargestellt werden, lediglich nur ungenau.

Phi und phi zeigen des Weiteren Besonderheiten, auf die ich in einer späteren Kurseinheit näher eingehen werde. Die folgenden vier seien ohne Kommentar vorangestellt:

Φ ² = 1 + Φ

φ ² = 1 – φ

φ ·Φ = 1

1 : Φ = φ

Na, wenn das keine Besonderheiten sind?

Rechnen Sie das bitte nach.

Die Benennung dieser Zahlen mit "phi" oder "Phi" geht auf einen griechischen Bildhauer namens Phidias griechisch ΦΙΔΙΑΣ (ca. 460 - 430 v. Chr.) zurück, der in seinen Werken den Goldenen Schnitt häufig verwendete.

Im nächsten Themenabschnitt erfahren Sie einiges über das Goldene Rechteck und die Goldene Spirale.
Wir werden da den Goldenen Schnitt auf geometrische Weise ins Auge fassen.