Intervallschachtelung

In diesem Abschnitt lernen Sie eine einfache Intervallschachtelung kennen, die uns hilft den Zahlenwert des Teilungspunkts, bezogen auf eine Strecke der Länge 1, herauszufinden. Er soll auf zwei Stellen hinter dem Komma genau sein.

Eine Intervallschachtelung ist ein numerisches (zahlenmäßiges) mathematisches Verfahren, das immer dann angewendet wird, wenn es keine exakte mathematische Lösung (das ist oft so) für eine Gleichung gibt oder noch nicht gibt.

Eine Intervallschachtelung nennen wir auch Iterationsverfahren, also ein sich wiederholendes (iteratives) Verfahren.

Vorgehensweise:

Wir gehen von unserer Verhältnisgleichung für den Goldenen Schnitt aus.

Sie lautet

Wir spiegeln vertikal und erhalten .

Die Gleichung lässt sich so einfacher handhaben.

Da wir nicht genau wissen, wo sich der Teilungspunkt befindet, beginnen wir einfach mit der Zahl 0,6 (Major muss größer 0,5 sein) und setzen diese für x ein.

Also

Als neuen Wert nehmen wir den arithmetischen Mittelwert (Durchschnitt) von 0,6 und 0,667.
Also (0,6 + 0,667) : 2 = 0,634. Nun setzen wir diesen Wert für x ein und erhalten

Wenn wir so weitermachen kommen wir dem wahren Wert immer näher, wir „schachteln“ ihn buchstäblich von links und von rechts kommend mehr und mehr ein. Was hier passiert, wollen wir uns anhand einer Tabelle und einer Graphik klarmachen. Auch in der Praxis wird man der Übersicht wegen eine Tabelle anlegen, oder wenn Sie programmieren können, das ganze Verfahren, meinetwegen mit EXCEL, ausführen. Wir wollen uns hier aber auch auf die Möglichkeiten unserer Altvorderen besinnen, die noch keinerlei technische Gerätschaften besaßen, um zahlenmäßig langwierige Rechenvorgänge abzuwickeln. Es musste noch alles im Kopf oder von Hand gerechnet werden.

Grafik zur Intervallschachtelung

Tabelle zur Intervallschachtelung

Wenn Sie sich die Werte in der rechten Spalte ansehen, werden Sie erkennen, dass sie sich von beiden Seiten kommend dem wahren Wert 0,6180...immer mehr annähern. Und Sie sehen auch, dass wir dieses Verfahren etwa 13-mal anwenden müssen, um zu erkennen, dass im weiteren Verlauf der Wert 1 an der zweiten Kommastelle stabil bleibt.

Dieses Verfahren ist relativ langsam im Vergleich zu anderen Iterationsverfahren, die im Laufe der mathematischen Geschichte entwickelt wurden. Wir sagen auch, das Verfahren konvergiert (nähert sich an) langsam.

Wie könnten wir dieses Verfahren auf einfache Weise verbessern?

Wir ersehen aus diesem Verfahren, dass der Teilungspunkt des Goldenen Schnitts bei einer Strecke der Länge 1 bei 0,61 liegt. Würden wir weitermachen, um zum Beispiel eine größere Genauigkeit zu erzielen, etwa bei der fünften Kommastelle, käme die Zahl 0,61803 zum Vorschein. Es stellt sich nun die Frage, ob wir dieses Verfahren endlos so weitertreiben können, oder ob es irgendwann endet und uns eine genau bestimmte Zahl liefert. Mit einem numerischen Verfahren lässt sich eine solche Entscheidung selten treffen. Hierfür bedarf es spitzfindigere mathematische Verfahren.

Ich möchte hier die Antwort vorwegnehmen.

Genau mit diesem Problem haben sich auch schon die Griechen beschäftigt und zu ihrem Erstaunen mussten sie feststellen, dass das Verfahren endlos ist. Diese Feststellung löste die wohl erste Grundlagenkrise in der Mathematik aus.

Es hat sich nämlich gezeigt, dass die Zahl des Goldenen Schnitts eine irrationale Zahl ist, eine Zahl also, die durch keinen Bruch aus ganzen Zahlen dargestellt werden kann, allenfalls nur annähernd, aber eben nicht genau.

Dieses Thema werde ich im weiteren Verlauf des Kurses noch einmal aufgreifen und eingehender behandeln.

Hier geht's weiter zu den "Goldenen Zahlen"